 基础理论一直是我们理解实际中很多应用的前提，比如要理解频谱仪的工作原理，就必须先了解傅里叶变换。而一提到傅里叶变换，那就是一堆变换，我主要整理收集了一些概念性的资料，无任何公式，和大家分享。 傅里叶变换(FT: Fourier Transform)： 傅里叶变换是一种线性积分变换，用于将时域上的信号转变为频域上的信号。在时域上的一个周期连续函数，经过变换，在频域上是一个非周期的函数。它不仅仅是一个数学工具，还提供了一种全新的视角来理解和分析信号和系统。通过将信号从时域转换到频域，可以更容易地识别信号的频率成分，这对于信号处理、通信系统设计等领域具有重要意义。 在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换，傅里叶级数，离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换。 连续傅里叶变换 一般“傅里叶变换”一词不加任何限定语，默认指的是连续傅里叶变换。在数学中，连续傅里叶变换是一个特殊的把一组函数映射为另一组函数的线性算子。 在物理通讯邻域，连续傅里叶变换就是把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱。 傅里叶级数(Fourier Series)： 在数学上，傅里叶级数是一种特殊的三角级数，它将周期函数表示为无穷多个正弦和余弦函数的和。它具有收敛性，满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。正交性意味着不同的频率分量之间不会相互干扰。奇偶性方面，奇函数可以表示为正弦级数，而偶函数则可以表示成余弦级数。 在物理上，傅里叶级数在信号处理、图像处理、音频处理等领域有广泛应用。例如，在信号处理中，傅里叶级数用于分析信号的频率成分；在图像处理中，傅里叶级数可以用于图像的滤波和增强；在音频处理中，傅里叶级数用于音频信号的频率分析和合成。 离散时间傅里叶变换(DTFT: Discrete Time Fourier Transform) 离散时间傅里叶变换在时域上离散，在频域上则是周期的。可以看作是傅里叶级数的逆变换。 离散傅里叶变换(DFT：Discrete Fourier Transform) 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换的特例，它在时域和频域上都是离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换频域的采样。在形式上，变换两端(时域和频域)的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号做离散傅里叶变换，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再做变换。  快速傅里叶变换(FFT: Fast Fourier Transform)： FFT是一种DFT的高效算法，称为快速傅里叶变换（DFT）。 由于计算机技术的快速发展，在70年代中期，美国和日本的一些电子设备企业开始设计和生产数字式傅里叶分析仪，但是由于离散傅里叶变换的计算量较大，直到DFT的快速算法(FFT)发现之后，离散傅里叶变换(DFT)才真正获得了广泛的应用。 傅里叶逆变换(IFT: Inverse Fourier Transform) 傅里叶变换有的地方称“傅里叶正变换”，傅里叶逆变换有的地方也称“傅里叶反变换”。 傅里叶逆变换是将频域的函数转换回时域，对一个给定的傅里叶变换F(ω) 求其相应原函数f(t) 的运算。这一过程在信号处理、图像分析等领域有着广泛的应用。 离散傅里叶逆变换（IDFT: Inverse Discrete Fourier Transform） 离散傅里叶逆变换就是离散傅里叶变换的逆操作，即把频域离散信号转换回时域。 通常情况下，离散傅里叶逆变换只和数字信号处理有关，它是一种常用的数字信号处理技术。它允许对信号进行精细调整以改善信号的品质。比如可以对信号进行滤波器消除噪声，或者在频域中增加信号强度以改善可视性或声音品质，以及用于加密保护信息。 |
